记数法 简单分群数系 位置制记数法 “零” 大数记法 有理数系 实数理论的完善 复数的扩张 综述
遇到难题

古代希腊人曾经提出一个问题:他们认为世界上的沙子是无穷的,即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德(Archimedes,BC287 - 212)的回答是:不。在《数沙术》中,阿基米德以万(myriad)为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来。他的做法是:从1起到1亿(原文是万万,myriad myriads, 这里按照中文的习惯改称为亿)叫做第1级数;以亿(10)为第2 级数的单位,从亿到亿亿(10)²叫做第2级数;在以亿亿为单位,直到亿亿亿(10)³叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿 。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10,即使扩充到“恒星宇宙”,即以太阳到恒星的距离为半径的天球,也不过只能容纳10个沙粒!

《数术记遗》中的“大数之法”

同样的问题也出现在中国古代。汉代以前,数皆10进,以10万位亿。韦昭解《国语·郑语》第十六:“计亿事,材兆物,收经入,行垓极”。注称“计,算也;材,裁也。贾唐说皆以万万为亿,郑后司农云:十万曰亿,十亿曰兆,从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称:

黄帝为法,数有十等,及其用也,乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载;三等者,谓上、中、下也。其下数者。十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也。中数者,万万变之,若言万万曰亿、万万亿曰兆,万万兆曰京。上数者,数穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,兆兆曰京也。从亿至载,终于大衍。

“大数之法”的数学意义

《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法,更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初,对一些较大的数,人们还可以理解它,还能够利用已有的记数单位去表示它。但是,随着人们认识的发展,这些大数也在迅速的扩张,原有的记数单位难以为用。人们不禁要问:

数有穷乎?

这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话,精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理:

徐岳问曰:数有穷乎?

会稽(刘洪)答曰:吾曾游天目山中,见有隐者,世莫知其名,号曰天目先生,余亦以此意问之。先生曰:世人言三不能比两,乃云捐闷与四维。数不识三,妄谈知十。不辨积微之为量,讵晓百亿于大千?黄帝为法,数有十等。……从亿至载,终于大衍。

会稽问曰:先生之言,上数者数穷则变,既云终于大衍,大衍有限,此何得无穷?

先生答曰:数之为用,言重则变,以小兼大,又加循环。循环之理,且有穷乎!

天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”,以有限来认识无限,而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日,“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。

数系基本信息
中文名数系外文名numerical system
分类数学最初简单分群数系
地区巴比伦人功能反应当前数学发展水平